Воспитанник Э. И. Бухмана. Чемпион России среди юношей до 14 лет 1998 и 1999.

Победитель Всемирной детской шахматной Олимпиады 2000.

В 2001 году занял второе место в чемпионате Санкт-Петербурга и выиграл турнир в Тель-Авиве. В 2002 году победил в мемориале Александра Петрова и в «Хооговен-опен». В 2002 году получил звание международного гроссмейстера.

В декабре 2006 года завоевал звание чемпиона России. В Суперфинале Алексеев и Дмитрий Яковенко набрали по 7,5 очков. Для определения чемпиона сыграли между собой две партии в быстрые шахматы. Первая партия закончилась вничью, а во второй победу одержал Алексеев.

В феврале 2007 года Алексеев, набрав 7 очков из 9 возможных, выиграл представительный традиционный турнир «Аэрофлот-опен 2007» и получил право сыграть в супертурнире в Дортмунде (Sparkassen Chess Meeting 2007), в котором поделил второе-четвёртое места.

На январь 2010 года Алексеев имел рейтинг — 2703, это 10-й рейтинг среди шахматистов России и 34-й в мире.

43.2K